Círculos e Circunferências

Abaixo está o link para as atividades a serem realizadas no software GrafEq.

Círculos e circunferências

Ilusão de Ótica e Circunferências

Abaixo veja uma apresentação de slides que mostra algumas ilusões de ótica envolvendo circunferências e círculos.

Ilusão de Ótica

Trigonometria no Triângulo Retângulo

A história da trigonometria

As origens da trigonometria são incertas. Mas sabe-se que não é obra de um homem só. Pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria deu-se principalmente a problemas relacionados com a astronomia, agrimensura e navegações. É possível encontrar problemas que envolvem a cotangente no PAPIRO DE RHIND.

PAPIRO DE RHIND : contém uma série de tabelas e 84 problemas e as suas soluções. Está escrito em hierático, da direita para a esquerda, tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento. É datado de aproximadamente 1650 a.C., embora no texto seja referido que foi copiado de um manuscrito de cerca de 200 anos antes. O papiro tem o nome do escocês Alexander Henry Rhind, que o comprou, por volta de 1850 em Luxor, no Egito. É também conhecido como papiro de Ahmes, o escriba egípcio que o copiou. Atualmente encontra-se no Museu Britânico.

Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram várias informações que foram transmitidas para os gregos, e foi essa astronomia primitiva que deu início à trigonometria esférica. Foram os gregos que pela primeira vez fizeram um estudo das relações entre ângulos num círculo e os comprimentos. Mas foi o astrônomo Hiparco, por volta de 180 a 125 a.C. que ganhou o direito de ser chamado “pai da trigonometria”, pois na segunda metade do século II a.C., fez um tratado de 12 livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo a tábua de cordas. É evidente que Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia.

A mais influente e significativa obra sobre trigonometria da antiguidade foi Sintaxis matemática, obra escrita por Ptolomeu, que contém 13 livros. Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distingui-lo de outros, foi associado a ele o superlativo magiste “o maior”. Mais tarde, na Arábia, o chamaram de Almagesto, por designação da língua, e a partir de então, a obra é conhecida por este nome.

A palavra trigonometria tem origem grega: TRI (três), GONO ( ângulo) e METRIEN (medida). Etimologicamente, significa medida de triângulos. Trata-se assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.

Origem do seno, cosseno e tangente

A palavra seno vem de sinus. Sinus é a tradução latina da palavra árabe Jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isto não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, que infelizmente dura até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, seria jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra).

O termo cosseno se deve a Edmund Gunter(1620), associado a ideia de que o cosseno corresponde ao seno do ângulo complementar. Gunter sugeriu combinar as palavras “seno”, dando origem a cosinus, que na nossa língua, escreve-se cosseno.

Thomas Fincke(1583) contribuiu com o nome tangente ao observar que a sobra reversa vertical estava situada na reta tangente ao círculo de raio igual ao comprimento do gnomon horizontal.

Abaixo encontram-se os links das atividades a serem realizadas com a orientação do professor:

Applet trigonometria

Applet quadrante

Problema

Semelhança de triângulos

Abaixo você encontra o link para o Trabalho sobre Semelhança de Triângulos

Semelhança de Triângulos

Funções Quadráticas

Abaixo link para o Trabalho sobre Funções Quadráticas.

Trabalho sobre Funções Quadráticas

Funções Quadráticas

Abaixo o link do trabalho sobre Funções Quadráticas.

Trabalho sobre Funções Quadráticas

Função Afim

Acesse abaixo o Trabalho sobre Funções Afim:

Trabalho Funções Afim

Funções Afim

Abaixo está o link para baixar o Trabalho de Funções Afim.

Trabalho de Funções Afim

Teorema de Tales

Abaixo está o trabalho sobre Teorema de Tales.

Trabalho Teorema de Tales

Abaixo está o arquivo para a atividade 3:

Tarefa 3

Abaixo você encontra uma demonstração do Teorema de Tales em triângulos.

Teorema de Tales

Volume e capacidade

                                 I.  Volume

É o espaço ocupado por um corpo. Entre as medidas de volume podemos destacar o centímetro cúbico (cm³), o decímetro cúbico (dm³) e o metro cúbico (m³).

                              II.  Capacidade

É o espaço interno de um recipiente ou a quantidade de água, gás, entre outros, em seu interior. As unidades de medida de capacidade mais utilizadas são o litro (L), o decilitro (dL) e o mililitro (mL).

VOLUME E CAPACIDADE DO PARALELEPÍPEDO

Explorar os seguintes arquivos do GeoGebra:

Volume da caixa
 

Capacidade do paralelepípedo

PROBLEMA 1

1)        Pretende-se acomodar 30 livros de Matemática iguais ao seu em uma caixa.

a)         Qual é o volume de um livro?

b)        Qual deve ser a capacidade, em centímetros cúbicos, desta caixa?

c)         Quais são as possíveis dimensões desta caixa? (Cite pelo menos 3 opções)

d)        Qual das opções é mais econômica em relação à quantidade de material necessária para construí-la? (Considere a caixa sem a tampa)

e)         Se esta caixa for construída a partir de uma folha de papelão retangular, a partir do recorte dos cantos da folha conforme a imagem, quais devem ser as dimensões da folha?

 

f)         Se para a construção desta caixa dispõe-se de uma folha retangular de papelão medindo 90 cm por 80 cm, qual a maior quantidade de livros que poderíamos acomodar nesta caixa? (Verifique a construção volume da caixa.ggb)

g)        Se tivéssemos à disposição uma caixa com as seguintes dimensões: 30 cm, 30 cm e 20 cm, quantos livros poderíamos acomodar nela?

VOLUME E CAPACIDADE DO CILINDRO

Explorar os arquivos abaixo:

Volume do cilindro
 

Capacidade do cilindro

PROBLEMA 2

1)   A merendeira precisa preparar suco para os alunos da escola. O suco será servido em copos cilíndricos com altura de 10 cm e diâmetro de 7 cm.

a)    Qual é a capacidade de cada copo, em mililitros? (Considere π=3,14)

b)   Se a merendeira quer servir meio copo de suco para 100 alunos, quantos litros de suco deverá preparar?

c)    Quantas jarras cilíndricas com 20 cm de altura e 13 cm de diâmetro ela precisará para armazenar este suco?

Geometria Espacial - Volumes

Abaixo veja alguns applets que permitem observar o volume de sólidos variando medidas.

Área e volume de prismas

Volume do cilindro

Volume da esfera

Volume do cubo

Volume da pirâmide

Volume do cone

Equações do 2º grau

Abaixo você encontra o link para baixar o programa Microsoft Mathematics que pode ser usado para resolver equações e sistemas de equações.

Microsoft Mathematics

Neste link você pode calcular equações do 2º grau.

Equações

Neste link você pode resolver sistemas de equações:

Sistemas de equações

Funções

O conceito de função é muito utilizado na Matemática e em outros ramos da Ciência. Funções relacionam grandezas variáveis.

Alguns exemplos de funções utilizadas no cotidiano:

• o tempo de uma viagem está em função da velocidade praticada no trajeto;
• o valor pago ao taxista após uma viagem está em função da distância percorrida;
• o valor das faturas de telefone, de luz e de água está em função do consumo do mês.

Abaixo você encontra dois exemplos de funções relacionados à Geometria.

Área do retângulo
Área do quadrado

Veja o vídeo abaixo produzido pela TV Escola. Ele traz algumas aplicações da matemática na construção.



Veja no link abaixo um objeto educacional que permite construir gráficos de funções:
Plotador de gráficos de funções

Em breve atividades dirigidas a serem realizadas com o Plotador.

Teorema de Pitágoras

Neste ano estudaremos o famoso Teorema de Pitágoras.

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-pitagoras.htm


Veja abaixo um vídeo produzido pela TV Escola que aborda este assunto.

Abaixo você terá acesso a uma demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras:

Teorema de Pitágoras

Para abrir este recurso é preciso ter o software GeoGebra instalado no computador.

Cálculo Algébrico

A álgebra é o ramo da Matemática que trabalha com incógnitas e variáveis.

O cálculo algébrico é fundamental para o avanço nos estudos sobre equações e funções. A inserção de incógnitas nos cálculos matemáticos permite o cálculo de inúmeras fórmulas.

As fórmulas matemáticas são usadas nas ciências e em muitas atividades humanas para descrever a relação entre grandezas.

• Um médico, por exemplo, usa fórmulas para calcular a dose certa de remédio para a criança, de acordo com o peso e a idade dela.
• Um engenheiro também utiliza fórmulas para projetar uma ponte, um prédio ou um avião.
• Os economistas aplicam fórmulas para calcular a inflação do mês ou o rendimento de uma aplicação financeira.

Fonte: ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo Praticando Matemática: vol. 3. - São Paulo: Editora do Brasil, 2002.


Abra o link abaixo para realizar a tarefa no laboratório de informática:
Balança Virtual

Depois explore este outro link:
Balança algébrica

Veja abaixo o plano desta aula:
Plano de Aula

Meio Ambiente

Acessem abaixo um documento elaborado pelo IBGE sobre o Meio Ambiente.
Meio Ambiente

Em grupos vocês deverão estudar este documento e confeccionar materiais para apresentar os dados mais importantes para a comunidade escolar no dia 07 de junho.

1. Escolham pelo menos 3 gráficos de dados para apresentar. 
2. Criem instrumentos para apresentá-los.
3. Analisem os dados contidos nos gráficos escolhidos.
4. Junto aos gráficos deve aparecer uma explicação.

Distribuição dos capítulos entre os grupos:
1- Os municípios e a gestão ambiental: estrutura e articulação institucional - p. 21
2 - Recursos financeiros na gestão ambiental municipal - p. 43
3 - A Agenda 21 nos municípios brasileiros - p. 59
4 - Pressão, Estado e Resposta: o meio ambiente em escala municipal - p. 73
5 - Poluição do ar nos municípios e suas prováveis causas - p. 125
6 - Um retrato do uso de agrotóxicos e fertilizantes no Brasil: o descarte das embalagens vazias, impactos ambientais e o incentivo à produção orgânica - p. 185
7 - A contaminação de água e solo e a disposição de resíduos tóxicos ou perigosos - p. 203
8 - A vulnerabilidade a desastres naturais - p. 217
9 - Desmatamentos e queimadas: percepção dos gestores municipais e algumas implicações ambientais - p. 229

Geometria Dinâmica

Conforme Berti (2012, p.28), temos nas escolas “um cenário em que professores se sentem inseguros em ensinar os conceitos geométricos por não dominarem o conteúdo e alunos memorizando as definições e propriedades, mas com dificuldade de utilizá-las na resolução de problemas.” Os conteúdos de geometria geralmente aparecem no final dos livros didáticos e nem sempre são estudados. Quando são estudados, aparecem de forma pronta, sem proporcionar ao aluno a exploração e interpretação dos conceitos.

 “Parte desta problemática tem origem nos programas e práticas de ensino de nossas escolas: é o tratamento estereotipado dado aos objetos geométricos, é a apresentação de demonstrações com argumentos ordenados e prontos.” (GRAVINA, 1996, p.2). Os livros didáticos geralmente trazem uma pequena definição dos conteúdos geométricos e um exemplo. Este exemplo mostra um caso particular e é chamado de desenho prototípico. Estes não permitem que o aluno tenha uma imagem conceitual adequada sobre o conteúdo em estudo. Quando estes objetos são apresentados em outra situação ou posição, não o reconhecem. E sendo sempre apresentados desta forma estereotipada, os alunos passam a abordar essas características do desenho como suas propriedades.

Dificilmente se propõe ao aluno construir objetos geométricos e pensar sobre as propriedades envolvidas na construção. Seja feita com régua e compasso ou com o auxílio da Geometria Dinâmica, a reflexão sobre a construção geométrica é essencial para a compreensão do conceito e para que se tenha uma imagem conceitual adequada.

O consenso entre o conceito e a imagem conceitual dá ao sujeito a informação apropriada sobre o objeto geométrico. O desenho em certos momentos pode dificultar a compreensão do objeto geométrico. No desenho estático certas propriedades do objeto não são observadas e características do desenho são confundidas com propriedades, ocasionando uma imagem conceitual distorcida. Já no desenho em movimento, as particularidades da representação se perdem e conservam-se as propriedades do objeto em questão, sendo mais facilmente observadas.

Quanto às atitudes dos alunos frente ao processo de aprender: experimentam; criam estratégias; fazem conjeturas; argumentam e deduzem propriedades matemáticas. A partir de manipulação concreta, “o desenho em movimento”, passam para manipulação abstrata atingindo níveis mentais superiores da dedução e rigor, e desta forma entendem a natureza do raciocínio matemático. (GRAVINA, 1996, p. 13)

Segundo Michel (2011, p. 23), “problema é tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver.” Problemas são diferentes de exercícios. Exercícios podem ser resolvidos com aplicação de fórmulas e procedimentos comuns, mas problemas levam o aluno a pensar, a criar hipóteses e a chegar à conclusão após vários artifícios.

A construção do conhecimento matemático se dá na medida em que novos problemas matemáticos vão sendo vivenciados, uma vez que o aluno é perturbado e desafiado a superá-lo. Para resolver o problema, é preciso que o aluno construa novas estruturas que permitam dar conta da situação enfrentada, rever os conceitos já elaborados e tentar reconstruí-los e enriquecê-los, de forma a solucionar o problema apresentado. (NOTARE; BASSO, 2012, p. 2)

A metodologia da resolução de problemas é essencial para despertar no aluno o pensamento matemático. Exercícios são apenas treinamentos para a aplicação de fórmulas ou de procedimentos padrão de resolução. Problemas são situações que demandam do aluno um pensamento muito mais avançado, em que precisa recorrer a conteúdos que já aprendeu e trazer à tona suas aplicações e relações com o problema em estudo. Todos os recursos disponíveis são importantes e devem ser analisados.

Além de provocar a reflexão e construção de novos conhecimentos, essa metodologia pode e deve favorecer a autonomia do aprendiz, desde o reconhecimento de um problema, isto é, a identificação de uma situação que pode e merece ser investigada com a ajuda de recursos que estão disponíveis ou terão que ser construídos. (MICHEL, 2011, p. 24)

É a partir dos desafios que o conhecimento matemático é construído. São as ações que permitem a aprendizagem. É preciso praticar, agir de forma significativa. A ação deve ter significado para o sujeito, só assim o pensamento será aprimorado.

Dessa forma, acredita-se que quanto mais problemas matemáticos são enfrentados pelo sujeito, quanto mais ele pensar, conjecturar, testar suas hipóteses e reorganizar suas ideias, mais experiência matemática ele vai construir, e, consequentemente, mais problemas poderão ser resolvidos por ele, problemas estes até então desconhecidos. (NOTARE; BASSO, 2012, p. 4)

Deste modo, o GeoGebra permite a construção e a exploração de conceitos geométricos e matemáticos, envolvendo o aluno a partir da ação. Ação esta que leva o aluno à tomada de consciência.

Michel (2011, p.14) afirma que “trabalhar com o GeoGebra significa trabalhar com Geometria Dinâmica, ou seja, de tal forma que as construções geométricas, ao serem manipuladas e, em movimento, guardam as relações geométricas, que foram impostas nas construções.” Por meio da observação e da ação o aluno compreende com maior facilidade o conceito matemático. Assim a tecnologia é uma grande aliada para levar o aluno do fazer ao compreender.

Segundo Meier (2012, p. 19), “investigar pode levar o aluno a caminhos matemáticos inesperados e não planejados, e isto enriquece o processo de aprendizagem.” O GeoGebra é um ambiente que proporciona esta investigação, esta interatividade tão significativa para a aprendizagem do aluno.

Meier (2012), trazendo os estudos de Goldenberg (1998), enfatiza os “hábitos do pensamento”. São eles: visualizar, reconhecer padrões ou invariantes, fazer experiências e explorações, criar, ser inventor, fazer conjecturas, descrever, formal e informalmente, relações e processos, raciocinar por continuidade. Em seu estudo percebeu que todos estes hábitos podem ser explorados com o auxílio do GeoGebra, a partir de atividades que levem o aluno a pensar, a criar hipóteses, a investigar.

Em seu estudo, Meier (2012) segue uma linha de trabalho. Primeiro permite a exploração do material pronto e a observação de características e propriedades da construção. Após, direciona as atividades e exige que os alunos reflitam sobre as construções, respondendo a questionamentos. Os alunos exploram parte de uma construção e devem concluí-la. Por fim, o aluno constrói seu próprio modelo, considerando suas aprendizagens e conclusões. Com a realização destas atividades envolveu de forma satisfatória os “hábitos do pensamento” de Goldenberg (1998).

“No programa, o aluno compreende a aplicabilidade da definição e das propriedades ao mover os pontos da construção, por exemplo”, salienta Berti (2012, p.  72), após realizar estudo envolvendo quadriláteros.

Berti (2012) sugere que seja utilizada a construção com régua e compasso aliada à construção no GeoGebra. A primeira permite a construção de todos os passos a partir das propriedades, visto que no GeoGebra temos algumas ferramentas prontas. A segunda permite a visualização dinâmica das figuras que mantém suas propriedades com o movimento de alguns elementos.

REFERÊNCIAS 

BERTI, Carine Muraro. As construções geométricas no ensino dos quadriláteros. Porto Alegre, 2012.

GRAVINA, Maria Alice. Geometria Dinâmica: Uma nova abordagem para o aprendizado da geometria. Anais do VII Simpósio Brasileiro de Informática na Educação.  Belo Horizonte, p.1-13, nov 1996.

LEONARDO, Fábio Martins de. Projeto Araribá: Matemática – 9º ano do Ensino Fundamental. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2010.

MEIER, Melissa. Modelagem geométrica e o desenvolvimento do pensamento geométrico no ensino fundamental. Porto Alegre, 2012.

MICHEL, Patrícia Espindola. Tecnologias no ensino de matemática: relatos de experiência. Novo Hamburgo, 2011.

NOTARE, Márcia Rodrigues; BASSO, Marcus Vinicius de Azevedo. Tecnologia na Educação Matemática: Trilhando o Caminho do Fazer ao Compreender. Novas Tecnologias na Educação. Porto Alegre, v. 10, n. 3, dez. 2012.

Abaixo há um exemplo de uma construção realizada no software GeoGebra. Além de aliar a geometria e o movimento, ele permite a exploração de vários conceitos geométricos.
Geometria Dinâmica no GeoGebra

Para visualizar o arquivo é preciso instalar o software no seu computador. O software é livre e está disponível para download no link abaixo:
Download GeoGebra

Veja o vídeo "Nas malhas da Geometria" criado pela TV Escola. Ele mostra a ilusão óptica que pode ser criada a partir da geometria dinâmica.

Caso não consiga visualizar o vídeo, acesse o link abaixo:
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4825

Abaixo veja a sugestão de aula proposta pela equipe da TV Escola para explorar o vídeo:
https://drive.google.com/file/d/0Bz3xoaV-qMtnajhNMVpCY1FPMWM/edit?usp=sharing